Chương 6

DAO ĐỘNG CỦA KHUNG VÀ DẦM LIÊN TỤC

6.1 Khái niệm mở đầu

Có hai loại phương pháp tính toán dạo động của khung: Phương pháp chính xác và

phương pháp gần đúng. Theo các phương pháp chính xác, ta coi các khối lượng bản thân

của tất cả các cấu kiện là khối lượng phân bố, tức là xem như hệ có số bậc tự do bằng vô

cùng; đồng thời quá trình tính toán được thực hiện theo sơ đồ biến dạng có kể đến tất cả

các dạng biến dạng. Theo các phương pháp tính gần đúng, người ta có thể thay thế các

khối lượng phân bố bằng một số khối lượng tập trung tức là biến hệ có bậc tự do bằng vô

cùng thành hệ có một số hữu hạn bậc tự do, hoặc đưa thêm vào những giả thuyết khác

nhằm giảm nhẹ khối lượng tính toán. Những phương pháp tính toán động lực học của

khung không được hoàn chỉnh bằng các phương pháp tính toán tĩnh, đồng thời cũng phức

tạp hơn rất nhiều.

Để giải bài toán về động lực học của khung và dầm siêu tĩnh ta có thể tiến hành

theo nhiều phương pháp khác nhau. Trong phần này ta sẽ chỉ nghiên cứu hai phương

pháp cơ bản thuộc loại các phương pháp chính xác là phương pháp lực và phương pháp

chuyển vị. Ngoài ra cũng sẽ giới thiệu cách vận dụng phương pháp tính gần đúng để giải

quyết bài toán.

Trước khi đi vào nghiên cứu nội dung các phương pháp ta cần tìm hiểu một số

định lý tổng quát về công và chuyển vị để làm cơ sở cho việc tính khung sau này.

6.2 Các định lý về công và chuyển vị trong hệ chịu tải trọng động

Xét hệ dao động ở hai trạng thái khác nhau. Trạng thái thứ nhất: hệ chịu lực kích

thích theo quy luật Pk(t) =Pksinr1t, lúc này trong hệ sẽ xuất hiện các chuyển vị, mô mem

uốn và lực quán tính, lần lượt được biểu thị theo các phương trình sau: (hình 6-1a).

a,

b,

a       dz

Zk(t)

a       dz

∆k(t)

∆k(t)

∆mk(t)

b

Pm(t)

Zk(t)

Hình 6-1. Các trạng thái

∆ k (t) = ∆ k sinr1t  ⎫

M k (t) = M k sinr1t ⎪

⎬

⎪

Trạng thái thứ hai: hệ chịu lực kích thích theo quy luật: Pm (t) = Pm sinr2 t.

(6-1)

6-1

Chương 6. Dao động của khung và dầm liên tục

Lúc này trong hệ sẽ xuất hiện các chuyển vị, mômen uốn và lực quán tính theo các

phương trình sau (hình 6-1b).

⎫

M m (t) = M msinr2 t           ⎬

..                ⎪

Z m (t) = m ∆ m (t) = mr2 ∆ m .sinr2 t⎪

(6-2)

Theo nguyên lý Đalămbe sau khi đặt các lực quán tính vào hệ ta có thể khảo sát hệ

theo bài toán tĩnh. Do đó ta cũng có thể áp dụng được nguyên lý công khả dĩ. Công thức

công khả dĩ của các ngoại lực và nội lực ở trạng thái K trên những chuyển dời và biến

dạng ở trạng thái m có dạng:

∑ Pk sinr1t i .∆

km

.sinr2 t j + ∑ ∫ mr12 .∆ k sinr1t i ∆ msinr2 t jdz =

= ∑∫

M k sinr1t i .M m .sinr2 t j

EJ

dz .

Sau khi ước lược cả hai vế cho (sinr1ti.sinr2tj) ta có:

∑ Pk ∆

km

+ ∑ ∫ mr12 ∆ k ∆ m dz = ∑ ∫

M k M m

EJ

dz

(6-3)

Tương tự như trên ta có công thức khả dĩ của các ngoại lực và nội lực ở trạng thái

m trên những chuyển dời và biến dạng ở trạng thái k:

∑ Pm

.∆ mk + ∑ ∫ m.r2 ∆ m ∆ k dz = ∑ ∫

M m M k

EJ

dz

(6-4)

So sánh (6-3)và (6-4) trong trường hợp r1 =r2 ta được :

∑ Pk ∆

km

= ∑ Pm .∆ mk

(6-5)

Như vậy công thức (6-5) biểu thị định lý Betti về sự tương hỗ của công khả dĩ trong

bài toán động.

Từ định lý trên ta cũng có thể dể dàng suy ra các định lý khác nhau về sự tương hỗ

sau:

* Định lý Mắcxoen biểu diễn luật tương hỗ về các biên độ của chuyển vị đơn vị:

δ km = δ mk

(6-6)

trong đó:

∆ km         ∆

Pm           Pk

* Định lý Raylây biểu diễn luật tương hỗ về các biên độ của phản lực đơn vị:

rkm = rmk                                          (6-7)

Trong đó:

rkm =

R km

∆ m

;

6-2

Chương 6. Dao động của khung và dầm liên tục

R mk

∆ k

* Định lý Gvôzđiep biểu diễn luật tương hỗ về các biên độ của chuyển vị và phản

lực đơn vị:

δ km = −rmk

(6-8)

Ta cũng có thể vận dụng công thức Mo để xác định biên độ chuyển vị động do các

lực Pm(t) đặt ở trạng thái thực gây ra. Muốn vậy ta cần tạo thêm trạng thái phụ K (hình 6-

2) trên đó có đặt lực đợn vị Pk tác dụng tĩnh theo phương của chuyển vị cần tìm và xác

định chuyển vị tương tự như trong bài toán tĩnh:

∆ km (t) = ∑ ∫

_

M k .M m (t)

EJ

dz

(6-9).

Trong đó:

Mm(t) là mômen uốn do các tải trọng Pm(t) gây ra;

Mk là mômen uốn do tải trọng tác dụng tĩnh Pk =1 đặt theo phương cần chuyển vị

gây ra;

Nếu chỉ xác định biên độ của chuyển vị thì trong công thức (6-9) ta thay Mm(t)

bằng biên độ của mômen uốn do biên độ của tải trọng động gây ra:

_

∆ km

= ∑∫

M k M m

EJ

dz

(6-10)

Pm(t)

Pm(t)

∆km(t)

P k =1

Hình 6-2. Trạng thái K

6.3 Cách tính dao động của khung siêu tính theo phương pháp lực

6.3.1 Dao động cưỡng bức

Giả thiết dưới tác dụng của các tải trọng thay đổi điều hoà theo thời gian f(t) = sinrt,

các phản lực, nội lực và chuyển vị cũng thay đổi theo quy luật sinrt. Ngoài ra ta cũng

thừa nhận các giả thiết đã được áp dụng khi tính khung siêu tĩnh chịu tải trọng tĩnh.

Ta xét khung siêu tĩnh bậc n (hình 6-3). Chịu tác dụng của các lực kích thích

Pisinrt.

Cũng tương tự như khi giải bài toán tĩnh, ở đây ta cũng chọn hệ cơ bản bằng cách

cắt bỏ các liên kết thừa và đặt các phản lực chưa biết Xi(t) tại các liên kết bị cắt bỏ (hình

6-4). Ta có: Xi(t) = Xisinrt (i =1, 2,..., n).

6-3

Chương 6. Dao động của khung và dầm liên tục

Với Xi là giá trị biên độ của lực chưa biết Xi(t). Nếu bỏ qua ảnh hưởng của biến

dạng uốn dọc trong các cấu kiện thì phương trình vi phân dao động ngang sẽ tuyến tính

và ta được phép áp dụng nguyên lý cộng tác dụng.

P1=sinrt

P2=sinrt

P1sinrt   P2sinrt

X sinrt

X sinrt

X sinrt

X sinrt

X sinrt

Hình 6-3. Hệ chính

Hình 6-4. Hệ cơ bản

Điều kiện biến dạng theo phương của lực Xi trong hệ cơ bản do tất cả các lực X1,

X2,..., Xn và tải trọng gây ra có thể viết được như sau:

∆ i (t) = ∆ i1 (t) + ∆ i2 (t) + ...∆ in (t) + ∆ ip (t) = 0

Hay:

∆ i1sinrt + ∆ i2sinrt + .... + ∆ in sinrt + ∆ ip sinrt = 0

Nếu đặt

∆ im.sinrt

X msinrt

= δ im ; thì phương trình trên có thể viết dưới dạng quen thuộc như

sau:

δ i 1 X 1 + δ i 2 X 2 + .... + δ i n X n + ∆ ip = 0

(6-11)

(i = 1, 2 ..., n)

Phương trình (6-11) là dạng tổng quát của phương trình chính tắc trong phương

pháp lực.

Trong đó:

Xi: - biên độ của lực động tại liên kết bị cắt bỏ thứ i;

äim - biên độ chuyển vị đơn vị theo phương của lực Xi do lực đơn vị Xm = 1.sinrt

gây ra;

∆ ip - biên độ chuyển vị theo phương của lực Xi do tải trọng động đặt trong hệ cơ

bản gây ra.

Các hệ số và số hạng tự do trong phương trình chính tắc (6-11) được xác định theo

(6-10) và tuân theo các định lý về sự tương hỗ trình bày trong mục 2.

δ i m = ∑ ∫

∆ip = ∑ ∫

M i .M m

EJ

M i .M p

EJ

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

(6-12)

6-4

Chương 6. Dao động của khung và dầm liên tục

Trong đó :

M i - mômen uốn do lực tĩnh Xi =1 gây ra trong hệ cơ bản;

M m - biên độ mômen uốn do lực động Xm =1.sinrt gây ra trong hệ cơ bản;

M p - biên độ mômen uốn do lực động cho trước gây ra trong hệ cơ bản.

Sau khi giải hệ phương trình chính tắc để tìm các ẩn số cơ bản X1, X2,..., Xn, ta có

thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để vẽ biểu đồ mômen uốn động:

M d = M 1d .X 1 + M 2 .X 2 + ... + M n X n + M dp

(6-13)

Ta cũng có thể vẽ được biểu đồ mô men uốn cuối cùng và cả các biểu đồ độ võng

y, góc xoay y’, lực cắt Qđ bằng cách đặt tất cả các trị số thực X1, X2, ..., Xn vào hệ cơ bản

rồi tính với từng thanh riêng biệt trong khung theo các phương trình (3-30) thuộc chương

3. Dựa vào biểu đồ Qđ ta cũng có thể suy ra được biểu đồ lực dọc Nđ như trong bài toán

tĩnh.

Ta thấy dùng phương pháp lực để tính dao động của khung thường rất phức

tạp. Thật vậy trong quá trình tính toán ta phải vận dụng các phương trình (3-30) thuộc

chương 3 trong đó có chứa các hàm số vòng để vẽ tất cả các biểu đồ mômen động đơn vị

d

thức (6-12) để tìm các äim và ∆ip , đòi hỏi phải mất nhiều thời gian và công sức. Bởi vậy

trong thực tế người ta không hay dùng phương pháp lực để tính dao động của khung mà

thường dùng phương pháp chuyển vị, vì phương pháp này cho phép ta giải quyết bài toán

đơn giản hơn nhiều.

Hiện nay người ta chỉ thường dùng phương pháp lực để tính dao động của dầm

liên tục, vì lúc này hệ phương trình chính tắc sẽ dẫn tới hệ phương trình ba mômen với

các hệ số có dạng không đổi.

6.3.2 Dao động riêng.

Khi nghiên cứu dao động riêng, ta vẫn dùng được các phương trình tổng quát

(6-11) trong đó chỉ cần cho các ∆ip = 0 .

δ11X1 + δ12 X 2 + . . . + δ1n X n = 0

δ 21X1 + δ 22 X 2 + . . . + δ 2n X n = 0

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

δ n1X1 + δ n2 X 2 + . . . + δ nn X n = 0

Để đảm bảo tồn tại dao động riêng, tức là tồn tại các ẩn lực, ta có điều kiện :

δ11

δ12

...

δ1n

D =

δ 21 δ 22  ... δ 2n

. . . . . . . .

= 0

(6-14)

δ n1

δ n2

...

δ nn

Khai triển định thức (6-14) ta sẽ được phương trình để tìm tần số dao động riêng,

. Các thanh trong khung có thể

EJ

có những giá trị thông số khác nhau, nên trước khi giải ta phải đổi trị số ë của các thanh

6-5

Chương 6. Dao động của khung và dầm liên tục

theo một thanh nào đó lấy làm tiêu chuẩn để qui về một nghiệm. Giả sử trị số k i của một

4

m 0 ω 2

EJ 0

(a)

Trị số k i của thanh thứ n bất kì trong khung là k i(n) :

4   m n ω 2

EJ n

Khi dao động riêng đã hình thành theo tần số ù i nào đó thì mọi thanh đều dao

động theo cùng tần số ù i . Đối chiếu giữa (a) và (b) ta có :

4

m 0

Trong đó:

4

=      suy ra k i(n) = k i(0) .ξ n .                   (6-15)

m n

ξ n = 4

m n J 0

m 0 J n

.

Như vậy ta có thể dể dàng biểu thị thông số ën của thanh bất kỳ thứ n theo thông

số ë0 của thanh được chọn làm tiêu chuẩn như sau:

λ n = k i(n)l n = k i(0)ξ n l n = λ 0

l n

l 0

ξ n

(6-16)

Lúc này, phương trình (6-14) chỉ chứa một ẩn số ë0 phương trình này là phương

trình siêu việt, nên cách giải tốt nhất là dùng đồ thị để biểu diễn hàm số f (ë0 ) .

δ11

δ12

...

δ1n

f(λ 0 ) =

δ 21 δ 22  ... δ 2n

. . . . . . . .

(6-17)

δ n1

δ n2

...

δ nn

Khi vẽ đồ thị ta có thể dùng bảng các hàm số lượng giác và hàm số vòng. Các giao

điểm của đường biểu diễn f (ë0 ) với trục hoành chính là nghiệm của phương trình (6-17):

ë01 ; ë02 ;...ë0 n (hình 6-5).

f (ë 0)

ë 01

ë 02

ë 03

Hình 6-5. Đồ thị tính λ

6-6

Chương 6. Dao động của khung và dầm liên tục

Các tần số dao động riêng ứng với các nghiệm ëoi được xác định theo công thức:

2

EJ 0

m 0

λ 2

l 0

EJ 0

m 0

(6-18)

(i = 1, 2, 3..., ∞)

Cũng tương tự như đã nhận xét trong phần tính dao động cưỡng bức, nếu dùng

phương pháp này tính dao động riêng của khung thì rất phức tạp. Bởi vậy trong thực tế

người ta chỉ áp dụng phương pháp lực để tính dao động riêng của dầm liên tục.

6.4 Cách tính dao động của khung siêu động theo phương pháp chuyển vị

6.4.1 Dao động cưỡng bức

Khi nghiên cứu phương pháp chuyển vị để giải bài toán động người ta cũng thừa

nhận những giả thuyết như đã dùng khi giải bài toán tĩnh. Nội dung phương pháp tính

cũng tương tự như trong bài toán tĩnh. Ẩn số của bài toán là các chuyển vị thẳng và

chuyển vị góc zi(t) tại các nút của khung. Hệ cơ bản ở đây cũng chọn như khi tính khung

siêu động chịu tải trọng tác dụng tĩnh (hình 6-6).

a)

P1sinrt

P2sinrt

b)

P1sinrt

P2sinrt

Z sinrt

Z sinrt          Z 3sinrt

Hình 6-6. Hệ cơ bản

Dưới tác dụng của các lực kích thích thay đổi điều hoà với tần số r, các chuyển vị và

các phản lực động của các liên kết phụ trong hệ cơ bản cũng thay đổi theo tần số r.

Do vậy ta có thể viết được:

Zi(t) = Zisinrt; Rik(t) = Riksinrt.

Điều kiện đảm bảo cho hệ cơ bản làm việc giống hệ thực là phản lực tại các liên kết

phụ đặt thêm vào phải bằng không:

R i (t) = R i1 .sinrt + R i2 sinrt + .... +

+ R in sinrt + R ipsinrt = 0 .

6-7

Chương 6. Dao động của khung và dầm liên tục

Sau khi đặt

R in sinrt

Z msinrt

= rim và biến đổi phương trình trên, ta sẽ được phương trình

chính tắc của phương pháp chuyển vị.

ri1Z1 + ri2 Z 2 + ... + rin Z n + R ip = 0 ; (i = 1, 2, ..., n).             (6-19)

Trong đó:

Zi - các trị số biên độ chưa biết của những chuyển vị góc hoặc chuyển vị thẳng tại

các nút của khung (tại những liên kết phụ);

rik - trị số biên độ của phản lực tại các liên kết phụ thứ i do chuyển vị động

Zk(t) = 1.sinrt tại liên kết phụ thứ k gây ra trong hệ cơ bản;

Rip - Trị số biên độ của phản lực tại liên kết phụ thứ i do các tải trọng động gây ra

trong hệ cơ bản.

Theo (6-19) ta thiết lập được n phương trình chính tắc đủ để giải n ẩn số Zi. Các hệ

số và số hạng tự do của (6-19) được xác định theo các phương pháp đã quen biết trong

giáo trình cơ học kết cấu. Hệ cơ bản của phương pháp này chỉ bao gồm các phần tử mẫu

nên ta có thể dễ dàng vẽ được biểu đồ mô men đơn vị do các giá trị biên độ của chuyển vị

đơn vị, cũng như do các giá trị biên độ của tải trọng gây ra. Trong bảng (6-1) và (6-2) cho

các giá trị biên độ mô men uốn và lực cắt tại các đầu của những phần tử mẫu, lần lượt do

các chuyển vị đơn vị và do các tải trọng gây ra. Những số liệu này đã được thiết lập trong

chương 3.

Sau khi tìm được các trị số Z1, Z2, ..., Zn ta có thể tìm được biên độ cuối cùng của

biên độ mô men uốn động theo nguyên lý cộng tác dụng:

d         d               d

p

Từ các biểu đồ M dp ta có thể suy được biểu đồ Q dp và N dp như thường lệ.

Nếu hệ có tính chất đối xứng thì ta có thể vận dụng các phép đơn giản hoá đã trình

bày trong chương 2 để làm giảm nhẹ khối lượng tính toán.

Trường hợp tải trọng P(t) biến đổi theo thời gian theo luật bất kỳ ta có thể phân

tích tải trọng thành chuỗi lượng giác, tiếp đó thực hiện tính toán với từng số hạng riêng

biệt và cuối cùng cộng các kết quả với nhau.

6.4.2 Dao động riêng

Trong phương trình tổng quát (6-19) nếu cho Rip = 0, ta sẽ được phương trình

chính tắc của dao động riêng.

r11Z1 + r12 Z 2 + ... + r1n Z n = 0 ⎫

r21Z1 + r22 Z 2 + ... + r2n Z n = 0⎪

⎬

rn1Z1 + rn2 Z 2 + ... + rnn Z n = 0⎪

(6-20)

kiện:

6-8

Để đảm bảo hệ có dao động riêng, nghĩa là các chuyển vị Zi ≠ 0, ta cần phải có điều

Chương 6. Dao động của khung và dầm liên tục

D =

r11

r12

r21 r22

. . . .

rn1

rn2

... r1n

... r2n

. . .

..

rnn

= 0

(6-21)

Sau khi khai triển định thức (6-21) ta sẽ được phương trình xác định thông số

ë = k.l và từ đó suy ra tần số dao động riêng cần tìm. Trước khi giải bài toán ta phải biểu

thị thông số ë của các thanh theo một thông số ë0 của một thanh nào đó như đã trình bày

ở mục trên như (6-17).

6.5 Xác định các dạng chính của dao động riêng trong khung siêu động

theo phương pháp chuyển vị

Ta hãy khảo sát khung trong đó các thanh có độ cứng không đổi dọc theo chiều dài

của thanh và mang khối lượng phân bố đều m. Hệ cơ bản chọn như trên (hình 6-18). Hệ

phương trình chính tắc có dạng:

r11Z1 + r12Z2 = 0

r21Z1 + r22Z2 = 0

z 1

1

z 2

2

3

l 1

l 2

5

4

Hình 6-7. Hệ cơ bản

Từ đây ta có:

Z 2

Z1

r     r

r12    r22

Nếu xét thanh 1-2 của khung và chọn gốc tọa độ ở đầu bên trái thì ta có thể viết

phương trình đường đàn hồi của thanh theo (3-29) như sau:

yi (z) = Z1

Bkiz

k i

M (0)

k i EJ

Q(0)

k i EJ

Dki z .

y′(z1 ) = Z1 Akiz ⋅

M (0)

k i EJ

Q(0)

k i EJ

C ki z

Dựa vào điều kiện biên ở đầu bên phải của thanh, ta có:

6-9

Chương 6. Dao động của khung và dầm liên tục

yi( l 1) = Z1

B k i l1

k i

−

M(0)

k 2i EJ

C k i l1 −

Q(0)

k 3iEJ

D k i l1 = 0

yi’( l 1) = Z1 . A k i l1 −

M(0)

k i EJ

i 1

Q(0)

C ki l1 = Z 2

Chia cả hai vế cho Z1 ta được:

B k i l1

k i

−

M(0) C k i l1

Z1  k 1 EJ

−

Q(0) D k i l1

Z1 k i EJ

= 0

A k i l1 −

M(0) B k i l1

Z1 k i EJ

−

Q(0) C k i l1

Z1 k i EJ

=

Z 2

Z1

Sau khi giải hệ phương trình trên ta sẽ tìm được các nghiệm

M ( 0)

Z1

và

Q( 0)

Z1

, biểu

thị theo

như sau:

Z 2

Z1

r

r12

⎛ Bki z

⎝ k i

−

M (0)

Z1

C k z

k i EJ

−

Q(0)

Z1

Dk z ⎞

k i EJ ⎠

Đó là phương trình biểu diễn dạng dao động chính của thanh 1-2, tương đương với

tần số ù i2 . Tương tự, ta có thể tìm được dạng dao động chính của những thanh khác trong

khung. Cách xác định các dạng chính trình bày ở trên cũng có thể mở rộng cho các

trường hợp khung phức tạp hơn.

6.6 Cách tính dao động của khung theo phương pháp gần đúng

Các phương pháp gần đúng đã trình bày ở chương 4 trong một chừng mực nào đó

có thể vận dụng để tính dao động của khung. Ở đây ta chỉ nghiên cứu phương pháp thay

thế khối lượng để biến đổi sơ đồ khối lượng phân bố theo chiều dài của thanh về một số

khối lượng tập trung. Làm như vậy, ta đã đưa bài toán có vô cùng bậc tự do về bài toán

có một số bậc tự do. Với sơ đồ mới ta có thể áp dụng lý thuyết đã nghiên cứu trong

chương 2 để tính dao động riêng và dao động cưỡng bức.

Khi thay thế khối lượng người ta thường dùng nguyên tắc đòn bẩy, nghĩa là thay

thế các khối lượng phân bố trong mỗi đoạn đã chia bằng hai khối lượng tập trung đặt ở

hai đầu đoạn đó. Áp dụng phương pháp này để tính tần số dao động riêng thứ nhất,

thường cho sai số không quá 1 ∼ 2%; sai số này tăng nhanh khi tính các tần số cao hơn.

Khi tính dao động cưỡng bức, lực kích thích có tần số r nhỏ hơn tần số riêng ù1 thì

kết quả khá chính xác. Điều này có thể thỏa mãn được đối với nhiều công trình xây dựng.

6.7 Cách tính dao động của dầm liên tục theo phương pháp lực

Để nghiên cứu dao động của dầm liên tục theo phương pháp lực, chúng ta sẽ vận

dụng lý luận tổng quát đã trình bày trong Đ2 và Đ3 của chương này. Cũng như trong bài

toán tĩnh, ta chọn hệ cơ bản của dầm liên tục bằng cách loại bỏ các liên kết thừa ngăn cản

các chuyển vị xoay tại các gối tựa trung gian (hình 6-23). Do đó, các ẩn số là các mômen

động tại các gối tựa trung gian Mi(t) = Mi sinrt.

6-10

Chương 6. Dao động của khung và dầm liên tục

i-1

Psinrt

i

Psinrt

i+1

Ji

Ji+1

ai

ai+1

l i          l i+1

Hình 6-8. Hệ cơ bản

Lúc này, trên hệ cơ bản chịu các lực động Mi(t) = Mi.sinrt đặt ở các gối tựa và các

tải trọng Pi.sinrt đặt ở trong nhịp dầm. Áp dụng phương trình (6-13) cho trường hợp này

ta viết được phương trình chính tắc biểu thị điều kiện chuyển vị góc tương đối tại các tiết

diện ở hai bên gối tựa thứ i bằng không như sau:

äi(i -1) Mi-1 + äii Mi + äi(i+1) Mi+1 + ∆ip = 0                   (6-22)

Phương trình này là phương trình 3 mômen để tính dao động của dầm liên tục.

Để xác định các hệ số và số hạng tự do của phương trình (6-22) ta có thể sử dụng

những kết quả đã nghiên cứu trong chương 3. Những kết quả này được ghi lại trong bảng

6-3.

Theo các số liệu trong bảng 6-3, ta tìm được:

li

6EJ i

li          li +1

3EJ i       3EJ i +1

li +1

6EJ i +1

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

(6-23)

với ëi = ki l i; ëi+1 = ki+1 l i+1.

Thay (6-23) vào (6-22) ta được:

li

6EJ i

⎡ li

⎣ 6EJ i

f1 (ëi ) +

li +1

6EJ i +1

⎤

⎦

li +1

6EJ i +1

f 2 (ëi +1 )M i +1 + ∆ iP = 0 ,

(6.24)

Từ hình (6-24) ta có:

∆ip = - âip + á(i+1)p                                (6-25)

Từ (bảng 6-3) ta dễ dàng xác định được các góc xoay tương ứng với các dạng tải

trọng khác nhau. Phương trình (6-24) là phương trình ba mômen trong bài toán động.

Sau khi xác định các trị số mômen động ở các gối tựa, ta có thể vẽ được biểu đồ

mômen và lực cắt trên toàn dầm, bằng cách: đặt các giá trị mômen đó vào các gối tựa và

xét từng dầm riêng biệt chịu các ngoại lực là mômen gối tựa và tải trọng kích động đã

cho ban đầu.

Khi nghiên cứu dao động riêng của dầm liên tục ta chỉ cần cho số hạng tự do trong

phương trình (6-24) bằng không sẽ được phương trình tần số.

6-11

Chương 6. Dao động của khung và dầm liên tục

li

6EJ i

⎡ li

⎣ 6EJ i

f1 (ëi ) +

li +1

6EJ i +1

⎤

⎦

li +1

6EJ i +1

f 2 (ëi +1 )M i +1 = 0

(3-26)

Cũng lý luận tương tự như trên, từ điều kiện định thức của các hệ số của hệ phương

trình (6-25) bằng không, ta sẽ tìm được các giá trị của thông số ë sau khi đã quy về một

thông số thống nhất theo công thức (6-17). Từ đó tính được các tần số dao động riêng ùk.

Nếu dầm liên tục có một hoặc hai đầu bị ngàmthì để làm giảm bớt số ẩn số, trong hệ

cơ bản ta chỉ đặt khớp ở những gối tựa trung gian. Trong trường hợp này, ta áp dụng

phương trình chính tắc theo dạng (6-22) với các giá trị ä11 và ä(n-1)(n-1) như sau:

ä11 =

l1

4EJ 1

f3(ë1) +

2l 2

6EJ 2

f1(ë2);

ä(n-1)(n-1) =

2l n−1

6EJ n−1

f1(ën-1) +

l n

4EJ n

f3(ën).

Trong đó:

f3(ë)

⋅

ë A ë D ë − B ë C ë

=

⋅

ë chë sin ë − shë cos ë

=

1

µ1 (ë)

.

Còn để xác định các ∆1p và ∆2p ta có thể sử dụng các số liệu về góc xoay cho trong

bảng 6-2 (sơ đồ 3 và 4).

6.8 Cách tính dao động của dầm liên tục theo phương pháp chuyển vị

Như đã trình bày ở mục 3, hệ cơ bản khi tính dao động của dầm theo phương pháp

chuyển vị có thể lập được như cách tính thông thường, nghĩa là như khi tính với tải trọng

tĩnh.

Trong trường hợp dao động cưỡng bức, phương trình chính tắc thứ i có dạng như

sau:

ri(i-1)Zi-1 + riiZi + ri(i+1)Zi+1 + Rip = 0.                        (6-27)

Theo bảng 6-1 ta tính được các hệ số là các phản lực do các chuyển vị đơn vị  Zi

= 1 gây ra:

ri(i−1) =

2EJ i

l i

µ 2 (λ i )

rii =

4EJ i

l i

µ1 (λ i ) +

4EJ i+1

l i+1

µ1 (λ i+1 )

ri(i+1) =

2EJ i+1

l i+1

µ 2 (λ i+1 )

Nếu ở hai đầu dầm liên tục có khớp tựa thì:

r11 =

3EJ1

l1

µ 5 (λ1 ) +

4EJ 2

l 2

µ1 (λ 2 )

6-12

Chương 6. Dao động của khung và dầm liên tục

r(n -1)(n −1) =

4EJ n -1

l n -1

µ1 (λ n -1 ) +

3EJ 2

l n -2

µ 5 (λ n -2 )

Số hạng tự do Rip trong phương trình (6-27) phụ thuộc dạng tải trọng có thể tìm

được theo bảng 6-2. Phương trình (6-27) còn gọi là phương trình 3 góc xoay.

Khi nghiên cứu dao động riêng thì phương trình chính tắc của dầm liên tục có dạng:

ri(i-1) Zi-1 + rii Zi + ri(i+1) Zi+1 = 0                           (6-28)

Cũng như trong trường hợp khung, sau khi lần lượt viết các phương trình (6-28) cho

tất cả các liên kết phụ trên dầm, ta thiết lập điều kiện tồn tại các chuyển vị Zi và sẽ được

phương trình tần số dưới dạng định thức của các hệ số phải bằng không. Từ phương trình

tần số ta xác định được các thông só ë, trong đó có chứa tần số riêng ùk.

Đối với các dầm liên tục đối xứng, khi tính dao động riêng ta có thể tách làm hai bài

toán để tính. Bài toán xác định tần số ứng với dạng dao động đối xứng và bài toán xác

định tần số ứng với dạng dao động phản xứng. Cách vận dụng tính chất đối xứng đã trình

bày trong chương hai.